Hiperyüzeylerin diferansiyel invaryantları ve 3-boyutlu rasyonel cebirsel eğrilerin projektif denkliklerinin ve simetrilerinin saptanması üzerine diferansiyel bir yaklaşım: Algoritmalar ve implementasyon

Abstract

Bu tez çalışmasında, iki önemli denklik problemi ele alınmıştır. Birinci problem parametrik hiperyüzeylerin Öklid denkliği iken, ikinci problem üç boyutlu rasyonel cebirsel eğrilerin projektif denklik ve simetrilerinin tespitidir. Bu problemler için invaryant teorinin etkin kullanımı ile çözüm üretilmesi amaçlanmıştır. Birinci problemin çözümü için hiperyüzeylerin Öklid grubuna göre diferansiyel invaryantları tespit edilmiş ve bu invaryantların tam sistemi elde edilmiştir. Yine benzer sonuçlar özel Öklid grubu için de araştırılmıştır. Buradaki sonuçlar sayesinde tezin diğer probleminin çözümü için gerekli bakış açısı oluşturulmuştur. İkinci problem için rasyonel eğri parametrizasyonları projektif uzayda ele alınmış olup, bu sayede rasyonel fonksiyonların kullanımından kaçınılıp, bunun yerine tüm girdileri polinomlardan oluşan temsillerle çalışılmıştır. İndirgenmiş formdaki rasyonel eğrilerin uygun parametrizasyonlarının, bilineer yeniden parametrelenişlere göre tek türlü bir temsil olduğu bilinmektedir. Bu bilginin üzerine inşa edilmiş ve projektif diferansiyel invaryantları merkezine alan bir yöntem oluşturulmuş, bu yöntem bir algoritma haline getirilip, Maple bilgisayar cebir sistemi kullanılarak geniş kapsamlı testlerle algoritmanın performansı incelenmiştir.