P-karakteristikte ayrışamaz gösterimler

Abstract

Gösterim Teorisi, Cayle'yin 1854 de göstermiş olduğu "Her sonlu G grubunun G kümesi üzerindeki simetrik gruba gömülebilir" teorisiyle başlar. Bu adım matematikçilere her sonlu grubun keyfi bir K-cismi üzerindeki tersinir kare matrislerin grubu içine dönüşümlerin var olabileceği fikrini vermiştir. Sonlu bir grubun Remark Ayrışımındaki ayrışamaz bileşenleri, G nm ayrışamaz gösterimleri ile izomrofi hariç aynı olarak karşımıza çıkar. Bu adımla başlayan temel soru, bir sonlu grubun ayrışamaz gösterimlerinin sayısı hakkında fikir edinmektir. Problem iki adımda ele alınmıştır. İC(K)=0 olması durumunda 1854 de Cayley tarafından atılan ilk adım günümüzde "âdi gösterim" teoresi adını almıştır. Bu adımda 1fv(K) A \G[ durumunda KG grup cebirinin yapısı, Wedderbum yapı teoremi ve Maschke Teoreminin sonucu ile tam olarak belirlenmiştir. li(K) I İG| olması durumunda KG grup cebirinin yapısı tam olarak karakterize edilememiştir. R.BRAUER tarafından şekillenen adım günümüzde "modular gösterim teorisi" veya "BRAUER teori" olarak gelmiştir. Bu konuda temel bir çalışma niteliği taşıyan D.G. frjgman'ın 1954 deki "p- karakteristikte ayrışamaz gösterimler" adlı çalışması büyük öneme sahiptir. Çünkü p-sylow altgrupların ayrışamaz gösterimleri ile G grubunun ayrışamaz gösterimleri arasındaki ilişkiyi açıkladığından bu çalışmayı günümüz lojiğiyle tanıtacağız. Bu çalışmanın tanıtımını üç bölümde derledik. Ancak Esas İdeal Bölgesi üzerindeki modüllerin yapısını okuyucu tarafından bilindiğini kabul ediyoruz I. Bölümde D.G. Higmanın çalışmasının takibi için gerekli ön bilgiler ve "âdi gösterim teorisi" nin yapısını D>.l.,U9^0 HWW), kaynaklarından derledik. Krull-Remark Schmidt Teoremini (1.7.6) vererek Artinian cebirler üzerindeki sonlu üretenli modüllerin ayrışamaz modüllerden oluşan Remark ayrışımlarını inceledik. Artinian cebirler üzerindeki ayrışamaz modüller genel olarak basit modül olmadıkları için yarıbasit cebirler üzerinde verilen Schur Lemma' sına paralel olarak her ayrışamaz modüle endomorfiler cebirinin lokal olması durumunda karakterize ettik. G nın mertebesi sonlu olduğunda KG grup cebiri Artinian olacağından KG nm yapısını belirlemek için Artinian cebirleri bu bölümde derledik. Bu bölümün sonunda birim elemanlı Artinian F cebir A nın F-gösterimlerinin 1R(A,F) kategori ile -56 A-sol modüllerin ^M kategorisi arasındaki kategorik denkliğin özellikleriniinceledik. Bundan yararlanarak sonlu bir G grubunun F-gösterimlerini FG grup cebirinin F gösterimleri yardımıyla elde ettik. II. Bölümde Artinian cebirler üzerindeki projektif modüllerin yapısını inceledik. Artinian cebirler üzerindeki esas ayrışamaz modüller projektif olup cebirin yapısını tanımada büyük öneme sahiptir. Ayrışamaz projektif A-modüllerin kategorisi ile basit A/ J (A) -modüllerin kategorileri arasındaki kategorik denklik (2.1.4) ile belirlendi. Wedderburu yapı teoreminin Artinian cebirlere bilinen şekli ile genelleştirme; P.QG^M esas ayrışamaz modüller öyleki ^M(P,Q) 5* 0 ve P ^ Q olacak biçimde mevcut olabileceğinden ortadan kalkmıştır. Bu noktada yeni bir yapıya ihtiyaç vardır. Bu yapı bir Artinian cebirin quiveridir. A cebirin quiverini İ~(A) ile gösterecek olursak A nın yapısı (~ (A) nın yapısı ile karakterize edilir. Bu bölümün sonunda Artinian cebirlerin sonlu ve sonsuz gösterim tipi kavramları verildi. III. Bölüm modüllerin Tensor Çarpımı * ve" İndüklenmiş. Modüller Curtis, CW'. kaynağından derlenerek yazıldı. Bu bölüm D.G. Higman'm çalışması için temel teşkil eder. Burada KG K-cebirinin p-Sylow altgrupları üzerindeki ayrışamaz modülleri G 'nın ayrışamaz modüllerine indüklenişi derlendi. Bu bölümde çalışmayı net olarak belirleyen teorem (3.2.3) ile verildi. Son olarak konuyla ilgili bizce ilginç olan problemleri çözerek bitirdik. The theory of representations starts with Cayley's theory which states that every finite group G can be embedded into a symetric group on G. This basis had leaded to the mathematicions that there would be transformations from every finite group into a group of invertible square matrices on an arbitrary field K. Indecomposable components of a finite group in Remark's decomposition stands for the same with idecomposable representations of G except isomorphic cases. The fundamental question originated from this idea is to get an idea about the number of indecomposable representations. This problem have been dwelt on two stages. In the case K(K)=0, the first information given by Cay ley in 1854 has been known as "Ordinary Representation Theory" today. In this case if KWklGl, the structure of the group algebra KG had been determined as a result of weddenburn's structure theorem and Maschke's Theorem. If fc(K)l lG( the structure of the group algebra KG has not been characterized exactly. In case of J^(K) I İGİ, what R.Brauer developed is known as "Modulary Representations Theory" or "Brauer's Theory". In this subject, the paper of D.G.HIGMAN enfitled "Indecomposable Representation at Characteristic-p" has been of more importance. We will introduce thes work of D.G.HIGMAN in terms of todays mathematical logical concepts for it describes the rel ation between indecomposable representation of p-sylow subgroups and decomposable representations of the group G. We have compiled this study into three chapters. Yet, we assume that the reader is aware of structures of Modules Over ve Principal Ideal Domain. In the first Chapter, we have gathered the background information and the structure of the simple representation theory needed to follow HIGMAN's work from the sources (DORNHOFF.L. (1971), HUNGERDFORD.T.W. (1987), PIERCE, R.S. (1982)). We examined Remark's decompositions composed of finitely generated indecomposable modules on Artinian algebras by stating Krull- Remark-Schmedt theorem (Theorem 1.1.6} since indecomposable modules on Artinian algebras are not simple modules in general. In case that the algebra of endomorphism is local, we have characterized indecomposable modules as being parallel to Schur's Lemma given on semisimple algebras, we set Artinian" algebras in thes chapter in order to determine the VIIstructure of the group algebra KG since the KG group algebra will be an Artinian algebra in case that the order of the group G is finite. At the end of this Chapter we investigated the properties of categorial equivalence between the category R_(A,F) of F-representations of an Artinian F-algebra A with unity and the category M of left A-modules. Using this we obtained the F-representations of a finite group G by using the F-representations of the group algebra FG. In the second Chapter, we have studied the structure of projective modules over Artinian algebras. Principal indecomposable modules over Artinian algebras are projective modules and thus they are of maro importance. The equivalency between the category indecomposable projective A-modules and the simple A/p(A) -modules has been characterized in Theorem 2.1.4. The program of generalizing the wedderburn Structure Theorem to Artinian algebras breaks down Chiefly because of the exitence of principal indecomposable modules Pand Q that are not isomorphic, but M(P,Q)^0. At this A stage a new structure is required, and it is the guiver of on Artinian algebra. If the guiver of algebra A is shown by f"(A), the structure of A is characterized by the structure of T(A). In the last fort of this Chapter, it has been given the concept of finite and infinite representation types of Artinian algebras. In the third Chapter, Tensor Products of Modules and Induced Modules have been given by compiling from the source (Curtis, C.W., REINER, I. (1962)), This chapter is the main basis for D.G.HIGMAN's work and on extension of indecomposable modules of K-algebra KG on p-bylow subgroups into indecomposable modules of a group G has been investigated. Also theorem which describes this work clearly has been given by theorem (3.2.3). Finally, we have completed ' this work by solving some interesting problems-in our orpinion-related with subject.