Static and dynamic analysis of axisymmetric structures using harmonic solid ring finite element modeling

Abstract

Düzgün iç ve dış basınç gibi eksenel simetrik olan ve/veya rüzgâr ve deprem gibi eksenel simetrik olmayan yüklere maruz kalan eksenel simetrik yapıların statik, serbest ve zorlanmış titreşim analizleri harmonik sonlu eleman yöntemiyle halka elemanlar kullanarak incelenmiştir. Harmonik sonlu eleman yönteminde eksenel simetrik olmayan yüklerin Fourier serileri şeklinde ifade edilmesiyle üç boyutlu problemler iki boyuta, iki boyutlu düzlem problemler de bir boyuta indirgenebilmektedir. Böylece her Fourier terimi için düzlem eksenel simetrik benzeri analiz yapılır ve eksenel simetrik olmayan yük altındaki problemin tam çözümü yeterli sayıda terim çözümlerinin süperpozisyonuyla elde edilir. Bu amaçla Matlab yardımıyla bir bilgisayar programı kodlanmıştır. Programın güvenilirliği iç basınçlı kalın cidarlı silindir, dönen ince disk ve basit mesnetli ince plak gibi kesin çözümü elde edilebilen örneklerle kontrol edilmiştir. Çalışmada dörtgen en-kesitli 4 ve 9 düğüm noktası bulunan iki halka eleman kullanılmıştır. Bu iki eleman sonuçların hassasiyeti ile kayma ve hacimsel kilitlenme problemleri açısından birbiriyle karşılaştırılmıştır. 4 düğüm noktalı elemanın aksine 9 düğüm noktalı elemanın kilitlenme problemlerinden etkilenmediği gözlenmiştir.Programın güvenilirliği sağlandıktan sonra 9 düğüm noktalı eleman kullanılarak bir soğutma kulesinin TS 498 ve Eurocode'a göre tanımlanan rüzgâr yükleri altında statik ve Düzce deprem yükü altında dinamik analizleri yapılmıştır. Statik analiz sonucunda rüzgâr basıncının çevresel dağılımının yer değiştirmeler ve gerilmeler üzerindeki etkisi incelenmiştir. Yer değiştirme ve gerilmelerin Eurocode'a göre hesaplanan yükler altında çok daha büyük değerler aldığı görülmüştür. Bu durumun Eurocode'a göre elde edilen çevresel dağılım için Fourier açılımındaki 2. ve 3. terimlerin katsayılarının diğerlerinden daha büyük değerler almasıyla yapının bu yükleme altında dalgalanan çevresel hareketlere büyük ölçüde maruz kalmasından kaynaklandığı düşünülmektedir. Fourier katsayılarının büyüklüğünden yüklemenin hangi tür deformasyonlara (kabuk veya kiriş benzeri) daha çok sebep olacağı anlaşılabilmektedir. Serbest titreşim analizleri sonucunda yapının doğal frekanslarının artan çevresel mod numarasıyla bir minimum değere kadar azaldığı ve bu değerden sonra ise artmaya başladığı görülmüştür. Bu davranışın silindirik kabuk tipi yapıların tipik bir özelliği olduğu söylenebilir.Son olarak parametrik çalışma yapılarak kule yüksekliğinin, eğriliğinin ve kabuk kalınlığının yapının serbest titreşim ve sismik davranışı üzerindeki etkileri incelenmiştir. Titreşim periyodunun artan eğrilikle yaklaşık olarak doğrusal azaldığı, büyük eğriliklerde ise bu eğilimin tersine döndüğü gözlenmiştir. Ayrıca yapının yüksekliği arttıkça periyodun arttığı ve kabuk kalınlığı arttıkça periyodun azaldığı görülmüştür. En büyük periyodun artan kalınlık ve yükseklikle lineer olarak değiştiği de izlenmiştir. Birinci yanal mod periyodunun artan kabuk kalınlığından etkilenmediği fakat artan kalınlıkla modun daha erken oluştuğu gözlenmiştir. Benzer şekilde birinci yanal modun oluşum sırasının artan yükseklikle azaldığı görülmüştür. Dinamik analizlerde kule yüksekliğine, eğriliğine ve kabuk kalınlığına bağlı olarak gerilmelerde dikkate değer değişimlerin meydana geldiği izlenmiştir.

Static, free and forced vibration analysis of axisymmetric structures under non-axisymmetric loadings such as wind and earthquake as well as axisymmetric loadings such as internal or external pressure were studied using harmonic solid ring finite elements. With the help of harmonic analysis physically three dimensional problems can be reduced to two dimensional problems by expressing non-axisymmetric loading in the form of Fourier series. The complete solution for the problem is obtained by superimposing a reasonable number of solutions for load components. 4-noded (Ring4) and 9-noded (Ring9) solid quadrilateral ring elements were used for the finite element analysis. A computer program for the purpose was coded in Matlab and verified solving several benchmark problems. During verification process these elements were compared with each other for accuracy, shear and volumetric locking. Ring9 seemed to be free of locking problems whereas Ring4 suffered from locking. After verification process a cooling tower was analyzed quasi-statically under wind loadings described in accordance with TS 498 and Eurocode and dynamically under Düzce earthquake using Ring9. It was realized that the circumferential distribution of wind pressure influenced the displacements and stresses significantly. Additionally, Fourier series coefficients of wind loadings indicate that the significant portion of the loading will cause shell or beam like deformations. Finally, the influence of height, thickness and curvature on the free vibration and seismic response of cooling towers were examined with a parametric study. It was recognized that the period of vibration tended to decrease approximately linearly with increasing curvature, but for high curvatures this trend reversed. Likewise, the variations in the fundamental period of vibration with shell thickness and height were approximately linear. As well, remarkable changes in stresses were noticed for cooling towers with different wall thickness and curvature in seismic analysis.