Riemann submersiyonlar için Chen-tipi eşitsizlikler

Abstract

Doktora tezi olarak hazırlanan bu çalışma dört ana bölümden oluşmaktadır. Birinci bölümde konunun tarihsel gelişimine yer verdikten sonra bu tezde ele alınan problemler sunuldu. Daha sonra ise Riemann manifoldlar ile ilgili temel tanım ve teoremler ifade edilerek Riemann submersiyonlar hakkında genel bilgiler verildi. Ayrıca Hermitiyen manifoldlar arasında tanımlı olan Hermitiyen submersiyonlar ile ilgili bazı temel kavramlara yer verildi. Özel olarak, Kaehler manifoldlardan Riemann manifoldlara tanımlı olan Lagrangian Riemann submersiyonlar ele alındı ve özellikleri verildi. İkinci bölümde Riemann manifoldlar arasında tanımlı Riemann submersiyonlar için kesit eğriliği, skalar eğrilik ve ortalama eğrilik gibi eğrilik invaryantlarını içeren eşitsizlikler kuruldu. Kurulan bu eşitsizlikler yardımıyla bazı karakterizasyonlar elde edildi. Ayrıca bu submersiyonlar için Chen-Ricci eşitsizliği hesaplandı ve Chen-Ricci eşitsizliğini sağlayan Riemann submersiyon örnekleri sunuldu. Diğer yandan, Lagrangian Riemann submersiyonlar için eğrilik invaryantları kullanılarak bazı eşitsizlikler verildi ve bu eşitsizliklerin eşitlik durumları da incelendi. Ayrıca Lagrangian Riemann submersiyonların harmonikliği çalışıldı ve bu submersiyonların harmonik olmaları için gerek ve yeter şartlar belirlendi. Üçüncü bölümde bu tez çalışmasından elde edilen sonuçlar sunuldu ve dördüncü bölümde konu ile ilgili önerilere yer verildi. This study as a philosophy doctoral thesis covers four main chapters. In the first chapter, the historical developments and the problems which are discussed in the thesis are presented. Then, the basic definitions and theorems on Riemannian manifolds are expressed and general facts about Riemannian submersions are given. Moreover, some basic notions are given on Hermitian submersions between Hermitian manifolds. In particular, we focus on a Lagrangian Riemannian submersion from Kaehler manifold to Riemannian manifold and their properties are examined. In the second chapter, some inequalities are established involving curvature invariants such as sectional curvature, scalar curvature and mean curvature for Riemannian submersions between Riemannian manifolds. Using these inequalities, some characterizations are obtained. Also, Chen-Ricci inequality is established for such a submersion and some basic examples are presented which is satisfied Chen-Ricci inequality. On the other hand, some inequalities are given for Lagrangian Riemannian submersions using curvature invariants and the equality case of these inequalities are considered. Moreover, the harmonicity of Lagrangian Riemannian submersion is studied and the necessary and sufficient conditions for which such a submersion is harmonic are provided. In the third chapter, the results are presented which are obtained from this philosophy doctoral thesis and some suggestions on this topic are given in the last chapter.