So(2) grubunun banach uzaylarındaki sürekli lineer gösterimleri için fourier serileri teorisi ve uygulamaları

Abstract

Bu tezin amacı, SO(2) grubunun Banach uzaylarında sürekli lineer gösterimleri için Fourier serilerini, temel özelliklerini ve bazı uygulamalarını araştırmaktır. Bu çalışma iki bölümden oluşmaktadır. Bölüm 1'de çalışmamızda temel olan bazı tanım ve teoremler ifade edilmiştir. Bölüm 2 beş kısımdan oluşmaktadır. İlk kısımda, SO(2) grubunun bir Banach uzayında bir lineer gösterimi, sınırlı lineer gösterim ve sürekli lineer gösterim tanımlanarak bazı özellikleri incelenmiştir. İkinci kısımda, sürekli lineer gösterimlerin Fourier serileri tanımlanmış ve bazı özellikleri incelenmiştir. Üçüncü kısımda, infinitesimal üretici D ve onun tanım kümesi H(D) tanımlanmıştır. Her λ∈C için R_λ:H→H yarı-rezolvent operatörü tanımlanarak bazı özellikleri incelenmiştir. Dördüncü kısımda, D operatörü için integral teoremi verilmiştir. D'nin rezolvent(=yarı-rezolvent) operatörünün bir eşdeğeri D'nin spektrum noktaları için tanımlanmış, açık ifadesi verilmiştir. Beşinci kısımda, Banach uzaylarındaki n. dereceden sabit katsayılı bir lineer diferansiyel denklemin periyodik çözümlerinin varlığı üzerine teoremler elde edilmiş ve periyodik çözümlerin varlığı durumunda bütün periyodik çözümlerinin açık ifadesi verilmiştir. The aim of this thesis is to study the fundamental properties of Fourier series for a continuous linear representation of SO(2) group in a Banach space and to give some applications of those. This thesis consists of two main chapters. In Chapter 1, some definitions and theorems which are crucial for our study are stated. Chapter 2 contains five parts. In the first part, a linear representation of the SO(2) group in a Banach space, bounded linear representation, continuous linear representation are defined and some properties of them are investigated. In the second part, Fourier series of the continuous linear representation are defined and some properties of them are investigated. In the third part, the infinitesimal generator D and its domain H(D) are defined. The quasi-resolvent operator R_λ:H→H is defined for all λ∈C and some properties of R_λ are investigated. In the fourth part, the theorem on integral for the operator D is given. An analog of the resolvent (= quasi-resolvent) operator of D is defined for points of the spectrum of D and its evident form is given. In the fifth part, theorems on the existence of periodic solutions of a linear differential equation of the nth order with constant coefficients in Banach spaces are obtained and in the case of the existence of periodic solutions, evident forms of all periodic solutions are given.