Normal müdahaleli yarı-Markov süreçlerinin asimptotik yöntemlerle incelenmesi

Abstract

Bu çalışmada, ?Normal Müdahaleli Yarı - Markov Süreçlerinin Asimptotik Yöntemlerle İncelenmesi? konusu ele alınmıştır. Çalışmanın birinci bölümünde Normal Müdahaleli Rasgele Yürüyüş Süreci' ne genel bir giriş yapıldıktan sonra ele alınan süreç matematiksel olarak inşa edilmiş ve bazı genel koşullar altında bu sürecin ergodik olduğu gösterilmiştir. Bunun yanı sıra, sürecin ergodik dağılım fonksiyonu, ergodik karakteristik fonksiyonu ve ergodik momentleri sınır fonksiyonelinin karakteristikleri yardımı ile ifade edilmiştir. Daha sonra bu sonuçlardan yararlanarak, Normal Müdahaleli Yarı - Markov Rastgele Yürüyüş Süreci' nin ergodik dağılımının ilk dört momenti için üç terimli asimptotik açılımlar elde edilmiştir. Ayrıca, sürecin ergodik dağılımı için zayıf yakınsama teoremi ispat edilmiştir.Çalışmanın ikinci bölümünde ise Normal Müdahaleli Ödüllü Yenileme Süreci ele alınmış ve sürecin ergodik dağılım fonksiyonu bir yenileme fonksiyonu aracılığı ile ifade edilmiştir. Bu gösterimden yola çıkarak, ergodik dağılımın tüm momentleri için kesin ifadeler elde edilmiştir. Özel bir durum (üstel dağılım durumu) için ergodik momentlerin aşikar şekli ortaya konulmuştur. Daha sonra yenileme fonksiyonunun çeşitli integralleri icin asimptotik açılımlar yardımcı teoremler şeklinde önerilmiş ve ispatlanmıştır. Elde edilen sonuçlardan yararlanarak, genel durumda sürecin tüm momentleri için üç terimli asimptotik açılımlar elde edilmiştir. Elde edilen asimptotik açılımın yardımı ile hesaplanan moment değerlerinin kesin değerlere ne kadar yakın olduğunu göstermek için özel bir durum ele alınmış ve bu durum için Monte Carlo simulasyon yöntemi uygulanarak, ergodik momentler için değerler elde edilmiş ve asimptotik sonuçlarla karşılaştırılmıştır. Karşılaştırma sonucunda, elde edilen asimptotik açılımların simulasyon sonuçlarına yeterince yakın oldukları tespit edilmiştir.Daha sonra, sürecin ergodik dağılımı için zayıf yakınsama teoremi ispat edilmiş ve limit dağılımının aşikar şekli bulunmuştur. Ayrıca, sürecin sınır fonksiyonellerinin momentleri için kesin ve asimptotik sonuçlar elde edilmiştir. In this study, two important classes of the semi - Markov processes are considered.The first class, ?The Semi-Markovian Random Walk with a Normal Interference of Chance?, is constructed mathematically and the ergodicity of the process is proved under some weak conditions. Furthermore, exact expressions for the ergodic distribution function and the characteristic function are determined. Using these expressions the first four moments of the ergodic distribution are expressed by the first five moments of a certain boundary functional. Later, asymptotic expansions with three terms are found for the moments of the boundary functional. By using these results, the asymptotic expansions are proposed for various integrals related to moments of the boundary functional. Furthermore, asymptotic expansions with three terms for the first four moments of ergodic distribution of the process are found and the weak convergence theorem for the ergodic distribution of the process is proved.The second class, ?The Renewal - Reward Process with a Normal Interference of Chance?, is considered and the ergodicity of the process is proved in the second part of the study. Later, the ergodic distribution function of the process is expressed by means of a renewal function. Unlike the first class, the asymptotic expansions with three terms are determined for all moments of the ergodic distribution of the process. Moreover, weak convergence theorem for ergodic distribution of the process is proved and explicit form of the limit distribution is determined. Finally, the exact and asymptotic expressions are obtained for the moments of the boundary functionals of the process.