Nonlineer dalga denklemleri için süreksiz fonksiyonlar sınıfında sayısal çözümler

Abstract

Bu tezde, pratikte bir çok alanda sıkça rastlanan bazı nonlineer kısmi türevli diferansiyel denklem ve denklemler sistemi için süreksiz fonksiyonlar sınıfında yeni bir sayısal yöntem önerilmiştir. Bu önerilen yöntem 2.1. kısımda ana hatlarıyla irdelenerek, 2.2. kısımda bir boyutlu birinci mertebeden periyodik sınır koşullu nonlineer probleme uygulanmıştır. 2.3. kısımda yukarıda sözünü ettiğimiz yöntem, iki boyutlu birinci mertebeden nonlineer kısmi türevli denklem için Cauchy ve sınır değer probleminin süreksiz fonksiyonlar smuSnda sayısal çözümünün bulunması için geliştirilmiştir. Bu amaçla, gerçek çözüm ele alınmış ve çözümün bazı özellikleri de incelenmiştir. 2.4. kısımda önerilmiş yöntem, gaz dinamiğinde ve hidrodinamiğin bir çok alanlarında karşımıza çıkan genel şekilde verilen bir boyutlu, nonlineer kısmi türevli diferansiyel denklem sistemi için sınır değer problemin süreksiz fonksiyonlar sımfinda sayısal çözümünün bulunmasına uygulanmıştır. Tezin son kısmında, bu yöntem bir boyutlu ikinci mertebeden nonlineer dalga denkleminin süreksiz fonksiyonlar sınıfinda çözümü için irdelenmiştir. Tezdeki çalışmaların her birinde kullanılan diferansiyel operatör faktörize edilmiştir. Faktörize edilmiş operatörlerden birinin çekirdekleri sınıfinda özel bir yardımcı problem oluşturulmuştur. Bu yardımcı problem, bilgisayar hesaplamaları açısından etkin ve ekonomik algoritmalar geliştirmemizi sağlayan, esas problemde bulunmayan avantajlara sahiptir. Ayrıca, önerilmiş yöntem problemin fiziksel yapısında ortaya çıkan darbe dalgasının oluştuğu yeri ve zamanı net olarak bulmaya da imkan vermektedir. Numerical Solutions for Nonlinear Wave Equations in a Class of Discontinuous Functions In this thesis, a numerical method for solving nonlinear partial differential equations and system equations in a class of discontinuous functions which are often met in practice is suggested. This suggested method is briefly investigated in section 2.1 and applied to an one- dimensional problem of first ordered partial equation with a periodical boundary condition. In section 2.3 the mentioned method has been developed to a two-dimensional initial and boundary value problem which is of first ordered nonlinear partial differential equation in a class of discontinuous functions. For this aim, the exact solution is structured and some properties of it are studied. In section 2.4, the suggested method is further developed to a system of nonlinear partial differential equations in a class of discontinuous functions which arise in gas-dynamics problem, and also in many field of hydrodynamics. In the final section of thesis, the method is studied further for one dimensional, second ordered nonlinear wave equation in a class of discontinuous functions. Each differential operator used in each section of the thesis is factorized. A special auxiliary problem in a class of kernel of one of the factorized operators is introduced. These auxiliary problems have some advantages over the main problem that provide us to develop efficient and economical algorithms from computational point of view. And the suggested method makes it possible to find the position and time evaluation of a shock wave which originates from the physical nature of the problem.