Normal operatörlerin spektrum yapısı

Abstract

Bu çalışmada Hilbert uzayında bazı lineer normal ve normale yakın operatörlerin spektrumunun reel ve sanal kısımlarının spektrumları arasındaki bağıntı incelenmiştir. Birinci bölümde tezde kullanılan Fonksiyonel Analiz, Lineer Operatörler ve Spektral Teorisi'nin temel kavram ve sonuçları verilmiştir. ?kinci bölümde ise, ilk olarak lineer normal operatörlerin ayrık spektrumunun, reel ve sanal kısımlarının ayrık spektrumlarının özel bir kartezyen çarpımı şeklinde ifade edildiği, reel ve sanal kısımlarının kompakt operatör olması halinde ise normal kartezyen çarpım olduğu durumlar incelenmiştir. Aynı irdelemeler hiponormal operatörler için de yapılmıştır. Daha sonra ise, lineer normal operatörlerin spektrum yapısı üzerinde durulmuş, reel ve sanal kısımlarının spektrumlarının kartezyen çarpımı şeklinde gösterilebileceği durumlara yer verilmiştir. Son olarak alınan sonuçların sınırlı normal operatörlerin normu, spektral yarıçapı, nümerik yarıçapı ve sınırsız normal operatörlerin özdeğerlerinin modüllerinin sonsuzdaki asimptotu konuları üzerindeki uygulamaları verilmiştir. Ayrıca alınan sonuçlar örneklerle desteklenmiştir. In this study the spectrum of some normal operators and hyponormal operators are investigated in terms of the spectrum of their reel and imaginary parts in Hilbert space. In the first part of the study basic concept and results in functional analysis, the operator theory and spectral theory are summarized. In the second part firstly, the point spectrum of a normal operator is stated with a special Cartesian product in terms of the point spectrum of its real and imaginary parts. Therefore, when its real and imaginary parts are compact operators, the conditions in which its point spectrum is expressed with normal Cartesian product in terms of the point spectrum of its real and imaginary parts are investigated. Also the same study is made for hyponormal operators. After that the structure of a normal operator spectrum is studied carefully and conditions in which its spectrum is expressed with Cartesian product in terms of the point spectrum of its real and imaginary parts are given. Finally, applications of spectral radius, numerical radius, its norm for bounded normal operators and asymptotical behaviour of the eigenvalues for unbounded normal operators are given with all results. Moreover, all theorems in this thesis are supported with examples.