N-boyutlu öklid uzayında doğrular ailesi invaryantlarının tam sistemleri

Abstract

Bu tezde, n-boyutlu Öklid uzayının Iz(n) tüm izometriler grubu ve O(n) tüm ortogonal dönüşümler grubu için aşağıdaki temel sonuçlar elde edildi. 1) n-boyutlu reel vektör uzayında, doğruya eğrinin özel hali olarak bakılarak ve eğrinin 3 tane farklı tanımı kullanılarak doğrunun 3 tane farklı tanımı verildi. Doğru için verilen bu üç tanımdan üçüncüsü biraz değiştirilerek doğrunun yeni bir tanımı verildi. Buna, kısaca 4. tip doğru diyelim. Doğrunun bu tanımları arasındaki ilişkiler incelendi. 2) n-boyutlu Öklid uzayında noktalar ve parametrik doğrulardan oluşan ailenin O(n) ve Iz(n) gruplarına göre denklik problemi incelendi ve polinomyal invaryantlarının tam sistemleri bulundu. 3) Noktalar, 2. tip ve 4. tip doğrulardan oluşan ailenin O(n) ve Iz(n) gruplarına göre denklik problemi, sadece noktalar ve 4. tip doğrulardan oluşan ailenin O(n) ve Iz(n) gruplarına göre denklik problemine indirgendi. 4) Noktalar ve 4. tip doğrulardan oluşan ailenin polinomyal invaryantları halkasının sonlu üreteçli olduğu gösterildi ve üreteçler sayısına ait eşitsizlik verildi. 5) n-boyutlu Öklid uzayında bir veya iki doğrudan oluşan sistemin Iz(n) ve O(n) gruplarına göre polinomyal invaryantları halkasının üreteçleri bulundu ve polinomyal invaryantlarının tam sistemleri bulundu. In this thesis, for groups G=Iz(n) and G=O(n), where Iz(n) is the group of all isometries and O(n) is the group of all orthogonal transformations of n-dimensional Euclidean space, the following main results have been obtained: 1) Using three different concepts of a curve in differential geometry, three different concepts of a line have been obtained. Using the third concept of a line, the forth definitions of a line is given. Correlations between concepts of a line are investigated. 2) The problem of equivalence of points and parametric lines in the n-dimensional Euclidean space with respect to groups Iz(n) and O(n) is investigated and complete systems of polynomial G-invariants have been obtained. 3) The problem of equivalence of points, 2nd type lines and 4th type lines in the n-dimensional Euclidean space with respect to groups Iz(n) and O(n) is reduced to that problem for points and 4th type lines. 4) It is proved that the ring of polynomial G-invariants of a family of points and lines in the n-dimensional Euclidean space has a finite number of generators. The inequality for the number of generators is given. 5) For a family consisting of one or two 4th type lines in n-dimensional Euclidean space, generators of the ring of polynomial G-invariants and complete systems of polynomial G-invariants have been found.